微分中值定理

微分中值定理与导数的应用

罗尔定理

定义：设函数
(1) $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，
(2) $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导，
(3) $f(a) = f(b)$，
则∃ξ ∈ (a, b), 使得 $f'(ξ) = 0$

证明

由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必取得最大值和最小值，记为 $M$ 和 $m$，则 $M \geq m$。

(1) 若 $M = m$，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为常数，则 $f'(x) = 0$，则 $\forall x \in (a, b)$，$f'(x) = 0$。

(2) 若 $M > m$，则 $M$ 和 $m$ 中至少有一个在 $(a, b)$ 内取得，不妨设 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = M$，则 $\xi$ 为 $f(x)$ 的极大值点，则 $f'(\xi) = 0$。

拉格朗日中值定理

定义：设函数
(1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，
(2) $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，
则至少存在一个 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

注：1) $a>b, a<b$ 结论都成立
2) $f(b)-b(a) = f'(ξ)(b-a) = f`[a+θ(b-a)](b-a)$
有限增量公式：$f(x_0+Δx) = f'(x_0+θΔx)Δx$

推论：设 $f(x)$ 在 $I$ 内可导，则在 $I$ 上$f(x)$ 为常数 $\Leftrightarrow$ $f'(x) = 0$

证明

令$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$ ，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，可证$F(a) = F(b) = 0$，则由罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$F'(\xi) = 0$，即$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

例1 试证 $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$

[证] 由拉格朗日中值定理，存在$\xi$在$x$与$y$之间，使得

$$\sin x - \sin y = \cos \xi \cdot (x - y)$$

两边取绝对值：

$$|\sin x - \sin y| = |\cos \xi| \cdot |x - y| \leq 1 \cdot |x - y|$$

故得证$|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$

例2 证明：当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$

[证] 根据拉格朗日中值定理，$\ln(1+x)-\ln 1 =\frac{1+x-1}{1+ξ}=\frac{x}{1+ξ}$
其中，$1+x > \xi > 1$，所以$\frac{x}{1+x} < \frac{x}{1+ξ} < x$
即$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

例3 证明：当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$

[证] 函数恒等于常数，则导数恒为0
令$f(x) = arctan x + arctan \frac{1}{x}$，则$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 0$，
又$f(1) = arctan 1 + arctan 1 = \frac{\pi}{2}$
所以$f(x)$在$(0,\pi /2)$内为常数，即$f(x) = f(0) = \frac{\pi}{2}$

常用不等式：$\sin x < x < \tan x$

柯西中值定理

定义：设函数
(1) $f(x)$ 和 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，
(2) $f(x)$ 和 $F(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导，且$\forall x \in (a, b), F'(x) \neq 0$，
则至少存在一个 $\xi \in (a, b)$，使得

$$\frac{f'(ξ)}{F'(ξ)} = \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}$$

证明

令$\varphi(x) =[f(a)-f(b)]F(x)-[F(a)-F(b)]f(x)$，则$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\varphi(a) = \varphi(b) = 0$，则由罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$\varphi'(\xi) = 0$，即$[f(a)-f(b)]F'(ξ)-[F(a)-F(b)]f'(ξ) = 0$，即$\frac{f'(ξ)}{F'(ξ)} = \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}$

洛必达法则

若 1) $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$
2) $f(x)$和$g(x)$在$x_0$在$U(x_0,δ)$内可导，且$g'(x) \neq 0$
3) $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为无穷大
则$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

[证]根据柯西中值定理
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(ξ)}{g'(ξ)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

例 求 $\lim x\to 0^{+}(x{)}^{\sin }$

[解] 原式 = $\lim_{x \to 0^+} e^{\sin x \ln x} = e^{\lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x} = e^{\lim_{x \to 0^+} x \ln x } = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2}} = e^{\lim_{x \to 0^+} -x} = e^0 = 1$