反常积分

一、无穷区间上的反常积分

定义1

$$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

定义2

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

定义3

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{+\infty}f(x)dx$$

定理1 比较判别法

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0\leq f(x)\leq g(x)$,则

1. 若 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛
2. 若 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 发散

定理2 极限判别法

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上非负连续，且$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lambda$

1. 当 $\lambda > 0$ 时，$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 与 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 同敛散
2. 当 $\lambda=0$ 时，$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛
3. 当 $\lambda=+\infty$ 时，$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ 发散，则 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散

常用结论

$$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx \begin{cases} p>1, & 收敛 \\ p\leq 1, & 发散 \end{cases} (a>0)$$

二、无界函数的反常积分

定义1

设点a是函数$f(x)$的瑕点

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{t\to a+}\int_{t}^{b}f(x)dx$$

定义2

设点b是函数$f(x)$的瑕点

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{t\to b-}\int_{a}^{t}f(x)dx$$

定义3

设点c是函数$f(x)$的瑕点(a<c<b)

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$$

定理1 比较判别法

设$f(x),g(x)$在$(a,b]$上连续，且$0\leq f(x)\leq g(x)$，则

1. 若$\int_{a}^{b}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛
2. 若$\int_{a}^{b}f(x)dx$发散，则$\int_{a}^{b}g(x)dx$发散

定理2 极限判别法

设$f(x),g(x)$在$(a,b]$上非负连续，且$\lim_{x\to a+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$，则

1. 当$\lambda > 0$时，$\int_{a}^{b}f(x)dx$与$\int_{a}^{b}g(x)dx$同敛散
2. 当$\lambda=0$时，$\int_{a}^{b}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛
3. 当$\lambda=+\infty$时，$\int_{a}^{b}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$发散

常用结论

$$\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx \begin{cases} p<1, & 收敛 \\ p\geq 1, & 发散 \end{cases}$$

题型一 反常积分的敛散性

题型二 反常积分的计算