一、几何应用

1. 平面图形的面积

(1) 若平面域D由曲线 $y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x))，x=a,x=b(a<b)$ 围成，则D的面积为

$A=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$

(2) 若平面域D由曲线$ \rho=f(\theta), \theta=\alpha, \theta=\beta(\alpha<\beta)$围成，则D的面积为

$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}f^2(\theta)d\theta$

总结为 $$ S=\int\int_D 1 dA $$

(1) 若平面域D由曲线 $y=f(x),(f(x)>=0)$ ，直线 $x=a,x=b(a<b)$ 及x轴围成，则
(1)区域D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

$V_x=\int_a^b\pi f^2(x)dx$

(2) 区域D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

$V_y=2\pi \int_c^d x f(x)dx$

在更一般的情况下,区域D绕直线L旋转一周所形成的旋转体的体积计算

取D中一点微元(x,y),与直线L的距离为 $r(x,y)$ ,则旋转体的体积为

$V=2\pi\int\int_D r(x,y)ds$

其中$$r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

(1) $C : y=f(x),a\leq x\leq b$

$S=\int_a^b\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

(2) $C : x=x(t),y=y(t),t\in[\alpha,\beta]$

$S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

(3) $C : \rho=\rho(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]$

$S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta$

$S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$

$S = 2\pi\int_{\alpha}^{\beta} y(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

$S = 2\pi\int_{\alpha}^{\beta} \rho\sin \theta \sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta$