一、常微分方程的概念

1. 微分方程

y′=y+xy′′+y3=xy′′=exy' = y + x \quad y'' + y^3 = x \quad y'' = e^x

2. 微分方程的阶

3. 微分方程的解

4. 微分方程的通解

含有独立常数的解称为通解，通解中含有的独立常数的个数与微分方程的阶数相同。

y′′=exy'' = e^x

y=ex+C1x+C2y = e^x + C_1x + C_2

5. 微分方程的特解

不含独立常数的解称为特解。

6. 微分方程的初始条件

初始条件是确定通解中独立常数的值的条件。

7. 微分方程的积分曲线

二、一阶微分方程

一般形式：

y′=f(x,y)y' = f(x, y)

1. 可分离变量的微分方程

y′=f(x)g(y)y' = f(x)g(y)

dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

dyg(y)=f(x)dx\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx

∫dyg(y)=∫f(x)dx+C\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C

2. 齐次微分方程

y′=φ(yx)y' = \varphi(\frac{y}{x})

dydx=φ(yx)\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})

令 u=yxu = \frac{y}{x}，则 y=uxy = ux，dydx=u+xdudx\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}

u+xdudx=φ(u)u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u)

化为可分离变量的微分方程：

xdudx=f(u)−ux\frac{du}{dx} = f(u) - u

duf(u)−u=dxx\frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}

∫duf(u)−u=∫dxx+C\int \frac{du}{f(u) - u} = \int \frac{dx}{x} + C

3. 一阶线性微分方程

y′+P(x)y=Q(x)y' + P(x)y = Q(x)

dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

通解：

y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)

4. 伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yny' + P(x)y = Q(x)y^n

dydx+P(x)y=Q(x)yn\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n

令 u=y1−nu = y^{1-n}，则 y=u11−ny = u^{\frac{1}{1-n}}，y′=11−nu11−n−1u′y' = \frac{1}{1-n}u^{\frac{1}{1-n}-1}u'

11−nu11−n−1u′+P(x)u11−n=Q(x)\frac{1}{1-n}u^{\frac{1}{1-n}-1}u' + P(x)u^{\frac{1}{1-n}} = Q(x)

u′+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)

5. 全微分方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

三、可降阶的高阶微分方程

  1. y′′=f(x)y'' = f(x)

    积分两次即可

  2. y′′=f(y,y′)y'' = f(y,y')

    令 y′=py' = p，则 y′′=dpdx=dpdydydx=pdpdyy'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}
    化为可分离变量的微分方程

  3. y′′=f(y,y′)y'' = f(y,y')

    y′=py′′=dpdypy' = p \quad y'' = \frac{dp}{dy}p

    化为可分离变量的微分方程

四、高阶线性微分方程

1. 线性微分方程的解的结构

  • 齐次方程(1)：$$ y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 $$

  • 非齐次方程(2)：$$ y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) $$

定理一： 如果 y1(x)y_1(x) 和 y2(x)y_2(x) 是齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么 $$ y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) $$ 就是齐次方程的解。

定理二： 如果 y∗y^* 是非齐次方程(2)的一个特解，y1(x)y_1(x) 和 y2(x)y_2(x) 是齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么

y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y^*

就是非齐次方程的解。

定理三： 如果 y1∗y_1^* 和 y2∗y_2^* 分别是方程(2)和(1)的两个特解，那么 y1∗−y2∗y_1^* - y_2^* 是方程(1)的解。

定理四： 如果 y1∗y_1^* 和 y2∗y_2^* 分别是方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)

和

y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)

的特解，那么 y1∗+y2∗y_1^* + y_2^* 是方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x) + f_2(x)

的一个特解。

2. 常系数齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0

特征方程： $$ r^2 + pr + q = 0 $$

设 r1,r2r_1,r_2 是特征方程的根：

  1. 不等实根 r1≠r2r_1 \neq r_2：$$ y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} $$

  2. 相等实根 r1=r2=rr_1 = r_2 = r：$$ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} $$

  3. 共轭复根 r1=α+iβ,r2=α−iβr_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta：$$ y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x) $$

3. 常系数非齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=f(x)y'' + py' + qy = f(x)

  1. 当 f(x)=Pm(x)eλxf(x) = P_m(x)e^{\lambda x} 时：

    • 令 y∗=xkQm(x)eλxy^* = x^kQ_m(x)e^{\lambda x}
    • kk 是特征方程的根的重数
    • Qm(x)Q_m(x) 是与 Pm(x)P_m(x) 同次的多项式

  2. 当 f(x)=eλx[Pl(n)(x)cos⁡ωx+Pn(x)(n)sin⁡ωx]f(x) = e^{\lambda x}[P_l^{(n)}(x)\cos\omega x + P_n(x)^{(n)}\sin\omega x] 时：

    • 令 y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cos⁡βx+Rm(2)(x)sin⁡βx]y^* = x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x + R_m^{(2)}(x)\sin\beta x]
    • m=max⁡(l,n)m = \max(l,n)

4. 欧拉方程

xny(n)+a1xn−1y(n−1)+⋯+an−1xy′+any=f(x)x^ny^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}xy' + a_ny = f(x)

令 x=etx = e^t，t=ln⁡xt = \ln x，D=ddtD = \frac{d}{dt}，Dk=dkdtkD^k = \frac{d^k}{dt^k}

xky(k)=D(D−1)(D−2)⋯(D−k+1)yx^ky^{(k)} = D(D-1)(D-2)\cdots(D-k+1)y

化为常系数线性微分方程。